鞅測度

什麼是鞅測度？

鞅測度是金融數學中使用的一種機率測度，用來為資產定價，將資產折現後的價格視為隨時間公平變動。

在加密貨幣領域，鞅測度主要用於為選擇權、期貨、結構型產品、類永續合約曝險，以及其他與數位資產掛鉤的合約定價。

鞅測度也稱為風險中立測度或等價鞅測度。

核心概念是，在這種特殊測度下，資產未來折現價格的期望值等於目前價格。

這不代表交易者在現實生活中真的不在意風險。

這代表定價模型會調整機率觀點，將風險溢酬納入目前價格，而不是另外加上。

簡單來說，鞅測度是一種數學視角，用來探討在不存在套利的情況下，衍生品應有的價值。

因此，鞅測度是選擇權定價、風險中立估值及無套利模型的核心概念。

鞅測度為何與加密貨幣有關

鞅測度與加密貨幣息息相關，因為數位資產市場有活躍的衍生品交易、高波動性及快速變化的風險。

加密貨幣選擇權、期貨及結構型產品需要定價模型，將目前資產價格與未來可能的報酬連結起來。

CME Group 的比特幣期貨選擇權教學頁面說明，交易比特幣期貨選擇權時，交易者會選擇到期日與履約價格。

這兩項資料是衍生品定價的基本要素，因為報酬取決於標的資產到期時的價格。

鞅測度有助於將未來可能的報酬轉換為目前價值。

這對需要以有系統的方式評估合理價值的做市商、風險管理團隊、交易者、協議設計者及研究人員都很有用。

不過，加密貨幣市場常不符合教科書模型採用的簡化假設。

因此，鞅測度雖然有用，卻不是萬能解方。

什麼是鞅？

鞅是一種過程，根據目前資訊計算的未來期望值，等於目前值。

簡單來說，這是一種「公平遊戲」模型。

如果折現後的資產價格是鞅，模型便表示，調整時間價值後，預期不會有額外的免費獲利。

這不代表資產價格會維持不變。

價格仍可能大幅上漲或下跌。

重點在於，在所選用的機率測度下，折現後的期望值不會出現向上或向下的漂移而造成套利。

卡內基美隆大學關於風險中立測度的講義說明，在風險中立測度下，折現後的避險投資組合會成為鞅。

鞅測度的運作方式

鞅測度會改變定價模型使用的機率權重。

真實世界機率描述交易者認為現實中可能發生的情況。

風險中立機率則描述在什麼機率下，折現後的資產價格會呈現鞅的特性。

例如，由於投資人要求補償波動性、流動性風險及不確定性，加密資產在真實世界中的預期報酬可能高於無風險利率。

在鞅測度下，模型會從折現價格過程中移除這項真實世界的預期超額報酬。

其結果並非對實際市場方向的預測。

而是一種定價工具。

因此，衍生品價格可以表示為鞅測度下預期報酬的折現值。

簡化來說，價格等於風險中立測度下預期報酬的現值。

鞅測度與無套利定價

無套利定價是指模型不應讓交易者在零成本且無風險的情況下獲利。

鞅測度與這項概念密切相關。

資產定價基本定理簡化來說指出，不存在套利的市場，與存在等價鞅測度有關。

哥倫比亞大學關於鞅定價的講義指出，如果存在等價鞅測度，模型中便不會有套利機會。

這種關聯很重要，因為它將定價、機率與市場一致性連結起來。

在加密貨幣領域，無套利原理可用於選擇權定價、檢查期貨基差、比較現貨與衍生品價格，以及設計自動化金融產品。

然而，真實的加密貨幣市場可能有延遲、費用、流動性缺口、交易成本及執行限制。

這些摩擦可能讓理論上的套利難以執行，甚至無法實現。

等價鞅測度

等價鞅測度是一種鞅測度，對哪些事件可能發生的判斷與真實世界測度一致。

「等價」不代表兩者的機率相同。

它代表兩種測度都將相同事件視為可能或不可能發生。

這點很重要，因為定價模型不應將不可能發生的事件假設為可能，也不應將可能發生的事件視為不可能。

在衍生品模型中，等價鞅測度可讓折現後的資產價格成為鞅，同時保留相同的基本市場狀態空間。

在完備市場中，等價鞅測度可能只有一種。

在不完備市場中，則可能存在多種測度。

加密貨幣市場往往是不完備的，因為並非所有風險都能完美避險。

風險中立測度與真實世界測度

真實世界測度用於預測、風險管理，以及估算實際市場中可能發生的情況。

風險中立測度則是在無套利假設下用於衍生品定價。

這兩種測度可能產生非常不同的預期。

交易者可能認為，某種加密資產在真實世界測度下具有正的長期預期報酬。

然而，在風險中立測度下，折現後的預期價格符合鞅條件。

這項差異是新手常誤解選擇權定價的原因之一。

選擇權模型並非單純預測資產價格走向。

模型要回答的是，在目前市場價格、波動性、利率及避險假設下，如何一致地為報酬定價。

鞅測度與加密貨幣選擇權

加密貨幣選擇權是鞅測度最明確的應用之一。

買權讓持有者取得履約價格以上的上漲曝險。

賣權則讓持有者取得履約價格以下的下跌曝險。

這兩種選擇權的價值，都取決於標的資產在定價測度下的未來分布。

在許多選擇權模型中，預期報酬會以風險中立測度或鞅測度計算，再折現回目前價值。

CME Group 的隱含波動率與 Greeks 頁面列出隱含波動率、Delta、Gamma、Theta、Vega、Rho 及價內外程度等選擇權分析資料。

這些工具與風險中立定價有關，因為隱含波動率通常是讓模型價格符合市場價格的波動率參數。

加密貨幣可能大幅波動且全年無休交易，因此加密貨幣選擇權的隱含波動率可能非常高。

鞅測度與永續合約

永續合約在加密貨幣市場相當常見，但要套用到簡單的教科書鞅模型中較為困難。

永續合約沒有一般的到期日。

通常會透過資金費率機制，讓合約價格維持在接近現貨市場的水準。

理論上，無套利定價會將永續合約價格、現貨價格、資金費率、保證金規則及強制平倉風險連結起來。

實務上，資金費用、槓桿、流動性及強制平倉都可能讓價格過程變得複雜。

鞅測度仍可協助研究人員及風險管理團隊建立定價模型。

不過，模型必須納入合約實際的資金費用與保證金設計。

忽略資金費用可能導致誤導性的合理價值估算。

鞅測度與穩定幣

穩定幣也可能出現在加密貨幣定價模型中，因為它們常作為抵押品、結算資產或計價資產使用。

鞅測度模型可能將用於結算的穩定幣視為與現金接近，但這項假設可能有風險。

穩定幣可能面臨儲備風險、兌付風險、發行方風險、智能合約風險及脫鉤風險。

如果模型將實際上並非無風險的計價資產假設為無風險，衍生品價格與避險比率就可能出錯。

這在加密貨幣領域尤其重要，因為許多交易使用數位資產而非傳統現金作為保證金、抵押品或結算資產。

完善的模型應明確界定計價基準資產。

計價基準資產是用於定價基準的資產。

鞅測度與預言機

鏈上衍生品及 DeFi 協議通常需要價格預言機。

預言機會向智能合約提供外部市場資料。

理論定價可能會使用鞅測度，但智能合約仍需要可靠的輸入資料，例如現貨價格、波動率估算、利率及資金費率資料。

如果預言機資料延遲、遭操縱或不完整，模型可能產生不安全的結果。

這使數學定價與協議實際安全性之間產生落差。

即使公式正確，輸入資料有誤仍可能導致失敗。

對加密貨幣衍生品而言，預言機設計與市場微結構也是定價風險的一部分。

完備市場與不完備市場

完備市場是指可透過交易現有資產，複製每一種可能的衍生品報酬。

在完備市場中，等價鞅測度通常是唯一的。

不完備市場則是指部分風險無法完美避險的市場。

在不完備市場中，可能存在多種鞅測度。

由於流動性限制、交易所分散、智能合約風險、預言機風險、跳躍風險及抵押品限制，加密貨幣市場往往是不完備的。

這代表並非每種加密貨幣衍生品都只有一個完美且公認的合理價值。

不同模型可能因波動性假設、跳躍風險、資金成本及流動性風險而得出不同價格。

鞅測度與波動性

波動性是衍生品定價的核心因素。

預期波動性越高，選擇權價值通常也越高，因為報酬更有機會大幅偏離履約價格。

在風險中立定價中，波動率參數應反映市場對未來不確定性的定價，而不只是歷史價格變動。

因此，隱含波動率非常重要。

隱含波動率是使定價模型符合觀察到的選擇權價格的波動率水準。

加密貨幣隱含波動率可能在新聞事件、強制平倉、重大協議事件或總體市場壓力期間迅速改變。

若鞅測度模型使用過時的波動率資料，準確度可能很快下降。

鞅測度與 Monte Carlo 定價

Monte Carlo 定價是一種用於估算衍生品價值的模擬方法。

在鞅測度下，模型可以模擬多種未來價格路徑，並計算每條路徑的報酬。

接著將平均報酬折現，以估算衍生品價格。

對於無法使用簡單公式定價的複雜加密貨幣產品，這種方法很有用。

例如，路徑相依選擇權、結構型收益產品、障礙選擇權，或與資金費率掛鉤的產品。

Monte Carlo 定價高度仰賴模型假設。

如果模擬過程無法反映市場行為，結果就可能產生誤導。

鞅測度與鞅交易策略的差異

鞅測度與鞅交易策略並不相同。

鞅交易策略通常是指在虧損後增加倉位規模，希望下一筆獲利交易能彌補先前虧損。

這種策略可能具有極高風險，尤其是在使用槓桿的加密貨幣市場。

鞅測度則是機率論與金融領域中的數學定價概念。

兩者都包含「鞅」一詞，但不應混為一談。

一者是定價工具。

另一者是可能造成重大虧損的倉位規模管理方式。

鞅測度的優點

第一項優點是有系統地定價。

鞅測度為交易者及研究人員提供有架構的方法，為未來報酬定價。

第二項優點是維持無套利一致性。

以鞅測度為基礎建立的模型，會盡量避免明顯矛盾的免費獲利情況。

第三項優點是風險中立估值。

衍生品可以透過折現特殊機率測度下的預期報酬來定價。

第四項優點是方便比較模型。

不同的加密貨幣選擇權及結構型產品可以使用共同的定價語言進行比較。

第五項優點是有助於改善避險分析。

風險管理團隊可以更清楚地研究 Greeks、避險比率、情境結果及模型誤差。

鞅測度的限制

第一項限制是模型風險。

鞅測度只適用於特定模型，而模型本身可能有誤。

第二項限制是市場摩擦。

加密貨幣市場存在費用、滑點、延遲、流動性缺口及交易場所分散等問題。

第三項限制是跳躍風險。

新聞、強制平倉、駭客攻擊或總體經濟衝擊，都可能造成加密貨幣價格劇烈跳動。

第四項限制是抵押品風險。

加密貨幣衍生品可能以波動性高或容易脫鉤的資產作為保證金。

第五項限制是不完備市場。

許多加密貨幣風險無法完美避險，因此可能存在多種鞅測度。

第六項限制是智能合約與預言機風險。

鏈上定價模型可能因程式碼、資料或執行假設失效而出問題。

加密貨幣使用者應如何理解鞅測度

加密貨幣使用者應將鞅測度視為定價架構，而非預測工具。

它不會指出加密資產將上漲、下跌或持平。

它說明在無套利假設下，模型如何為不確定的未來報酬定價。

這項區別很重要，因為如果使用者誤以為模型是在預測現實世界，衍生品價格就可能令人困惑。

選擇權價格偏高，可能反映隱含波動率高、避險需求強、流動性低或市場承壓。

這不代表市場必然預期某個確切的未來價格。

使用者應將定價模型與流動性檢查、風險限額、抵押品分析及市場情勢一併考量。

對鞅測度的常見誤解

一種常見誤解是，鞅測度能預測實際未來價格。

鞅測度不會預測實際價格，而是協助在風險中立架構下為衍生品定價。

另一種誤解是，風險中立代表風險不重要。

風險仍然重要，只是模型透過目前價格與調整後的機率來反映風險。

第三種誤解是，鞅測度一定存在，而且一定只有一種。

在不完備或複雜的市場中，可能存在多種測度，也可能沒有任何一種能完美符合市場狀況。

第四種誤解是，教科書中的無套利模型可以毫無問題地套用在加密貨幣市場。

真實的加密貨幣市場存在費用、流動性分散、資金費率、強制平倉、智能合約風險及預言機風險。

第五種誤解是，將鞅測度與鞅賭博策略混淆。

這項定價概念並非建議在虧損後加倍押注。

常見問題

簡單來說，什麼是鞅測度？

鞅測度是一種特殊的機率觀點，用於為資產定價，使折現後的價格呈現公平遊戲的特性。

鞅測度與風險中立測度相同嗎？

是。在許多金融情境中，鞅測度與風險中立測度指的是相同的核心定價概念。

為什麼加密貨幣定價會使用鞅測度？

它用於在無套利假設下，為選擇權、與期貨掛鉤的產品及結構型報酬等加密貨幣衍生品定價。

鞅測度會預測加密貨幣價格嗎？

不會。它是定價工具，而非對真實世界價格的預測。

等價鞅測度是什麼意思？

這代表測度會調整機率權重，同時保留哪些市場事件可能或不可能發生。

鞅測度與無套利有何關聯？

金融理論指出，在適當假設下，不存在套利與存在等價鞅測度有所關聯。

鞅測度可能不只一種嗎？

可能。不完備市場中並非所有風險都能完美避險，因此可能存在多種鞅測度。

加密貨幣市場是完備市場嗎？

通常不是，因為加密貨幣市場存在流動性缺口、價格跳躍、預言機風險、抵押品風險及交易條件分散等問題。

鞅測度適用於永續合約嗎？

可以，但模型必須納入資金費率、保證金規則、強制平倉風險及抵押品設計。

鞅測度與鞅策略相同嗎？

不同。鞅測度是定價概念，而鞅策略通常是指在虧損後增加交易規模。

結論

鞅測度是衍生品定價及無套利金融中的重要概念。

在加密貨幣領域，鞅測度有助於說明如何透過風險中立估值，為選擇權、與期貨掛鉤的產品、結構型報酬及其他衍生品定價。

在鞅測度下，折現後的資產價格在模型中呈現公平遊戲的特性。

如此一來，便能以一致的方式將未來衍生品報酬轉換為目前價值。

這個概念很有用，但仰賴的假設在加密貨幣市場中往往難以成立。

加密資產具有高波動性，並面臨流動性分散、資金費率、跳躍風險、抵押品風險、智能合約風險及預言機風險。

因此，鞅測度應視為實用的模型，而非合理價值或未來表現的保證。

對加密貨幣使用者來說，理解鞅測度的最佳方式，是將其視為定價視角。

它有助於讓衍生品估值更有系統，但實際交易決策仍須考量風險管理、流動性及審慎判斷。